Makalah Matriks - Dunia Makalah

MATRIKS

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika maupun ilmu terapannya. Aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang senantiasa berhubungan dengan angka-angka, dalam dunia olahraga seperti penentuan klasemen suatu pertandingan, dalam bidang ekonomi biasa digunakan untuk menganalisa input dan output seluruh sektor ekonomi. (Supranto, 1987).

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Matriks

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh :

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau   di  tulis A(3×4).

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

B.  Jenis Matrik

1. Berdasarkan Ordo

·         Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya

• Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
• Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

·         Matriks tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

• Matriks datar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

2. Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya

·         Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai NOL

• Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol
• Matriks segi tiga atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol
• Matriks sembarang adalah matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).

·         Matriks segitiga bawah adalah kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

• Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama.

·         Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1

• Matriks simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

      

C. Transpose Matriks

Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan  mengubah baris menjadi kolom matriks mula – mula, atau sebaliknya. Transpose matriks A dinotasikan A^T atau A^t .

    

D. Invers Matriks

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

“Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari”

E. Determinan Matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujur sangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad – bc

F. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

G. Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

H. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij ). Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB,

I. Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana 

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
1. A = 0 dan B = 0
2. A = 0 atau B = 0
3. A  ¹0 dan B  ¹0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C